Занятие 1

Числа в цифровой электронике

     Система счисления - это код, в котором используют специальные символы для обозначения количества каких-либо объектов.

     Десятичная система имеет символы 0,1,2,3………..9 всего их 10, поэтому её иногда называют системой счисления с основанием 10.

     Двоичная система счисления имеет только 2 символа  0 и 1, поэтому её называют системой счисления с основанием 2. Символы десятичной системы счисления могут быть записаны в двоичной системе следующим образом:

                                                      Таблица 1                                                           

десятичный символ 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

двоичное   число 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001

Заметим, что символы 0 и 1 в обеих системах совпадают. Рассмотрим число 648 в десятичной системе - его иногда записывают так: 64810.      В этом числе:

            Цифра 6 обозначает 600, так как она занимают 3 разряд слева от десятичной точки,

            Цифра 4 обозначает 40, так как она занимает второй разряд от десятичной точки,

            Цифра 8 представляет число 8, поскольку она находится в первом разряде слева от десятичной точки, таким образом, всё число есть сумма:

648=600+40+8=6·102+4·101+8·100, где  (·) символ операции умножения. Этот пример иллюстрирует понятие «вес разряда». Аналогичное понятие «вес разряда»  используется и в двоичной системе.          Например, число 10112=23·1+22·0+21·1+20·1

          Общее правило:         

Вес следующего разряда = весу предыдущего  разряда  умноженному (·) на основание системы счисления.

 

Используя это правило, запишем веса десяти первых разрядов двоичной системы:                                                                                                                      

                                                                                                                                                          Таблица2    

29

28

27

26

25

24 23 22 21 20
512 256 128 64 32 16

8

4

2

1

 

1. Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Пример 1

          Пусть двоичное число  110011 необходимо преобразовать в десятичное.

  1. Подписываем под таблицей 2 преобразовываемое число:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

                                                               1              1                0              0              1             1 

2. Искомое десятичное число будет равно сумме произведений соответствующих разрядов двоичного числа  и их «весов» из таблицы 2:

1100112=32·1+16·1+8·0+4·0+2·1+1·1=5110.

Пример 2

     Пусть двоичное число 11111010002 необходимо преобразовать в десятичное. Решение представлено ниже:

11111010002 = 512·1+256·1+128·1+64·1+32·1+16·0+8·1+4·0+2·0+1·0 = 100010.

      Материал для самостоятельного решения:

      Преобразовать следующие двоичные числа в десятичные: 12,1002,1012,10112,10002,100002,111112,110011002,111111112.

2. Преобразование десятичных чисел в двоичные.

      Пусть 1310 нужно перевести в двоичную систему счисления. Переход в этом случае осуществляется делением числа 1310, на основание системы счисления в которую мы переходим, в целых числах с выписыванием остатков деления, по следующей схеме:

Пример 3

13:2 = 6   остаток 1  это разряд весом 1

6 : 2 = 3   остаток 0  это разряд весом 2

3 : 2 = 1   остаток 1  это разряд весом 4

1 : 2 = 0   остаток 1  это разряд весом 8

Помня о том, что самый младший разряд всегда занимает крайнее правое место в записанном числе в любой системе счисления, выписываем результат:

1310 = 11012.

Процесс перехода заканчивается  в тот момент, когда очередной результат деления даст ноль (0) целых.

Вывод: остатки, от деления, выписанные в соответствии с весами разрядов, дадут искомое число.

Переведем еще одно число 3710 в двоичную систему счисления:

Пример 4

37:2 = 18 остаток 1   

18:2 = 9   остаток 0      

 9 : 2 = 4   остаток 1      

4 : 2 = 2   остаток 0      

2 : 2 = 1   остаток 0 

1 : 2 = 0   остаток 1   

Отсюда 3410 = 1001012Деление заканчивается в тот момент, когда имеем частное равное 0.     

Материал для самостоятельного решения:

Преобразовать следующие десятичные числа в двоичные:

010,110,1810,2510,3210,6410,6910,12810,14510,100110.

3. Шестнадцатиричные числа.

В шестнадцатиричной системе счисления , согласно определению, должно быть 16 различных символов перечислим их 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F.                     

Буква A обозначает число 10

           B обозначает число 11

           И.т.д.

Преимущество шестнадцатиричной системы  состоит в том, что она позволяет  реализовывать переход от шестнадцатиричной к двоичной системе счисления достаточно просто, используя тетрады ( tetra в переводе с греческого означает четыре) двоичных символов.

Например: символ F в шестнадцатиричной системе соответствует четырёхразрядному числу 11112 . Двухразрядное двоичное число А616 = 101001102.                                      Для перехода от двоичной к шестнадцатиричной системе счисления используют следующую таблицу соответствия:

                                                                                                                                                           Таблица 3

Десятичное

число

Двоичное

число

Шестнадцатиричное

Число

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1110

E

15

1111

F

4. Переход от шестнадцатиричной системы к двоичной.

     Пусть мы хотим перейти от шестнадцатиричного числа   С 316 к его двоичному эквиваленту. Для этого необходимо  по таблице 3 найти тетраду для цифры С16, затем по той же таблице найти тетраду для цифры  316 и после этого  записать найденные тетрады в том порядке в каком стояли цифры С16 и  316 в исходном шестнадцатиричном  числе.

  С16  - 11002 

  316   - 00112 

   С 316  = 110000112

       Замечание: при использовании таблицы 3 для перехода необходимо всегда помнить, что мы работаем только с тетрадами, то есть нельзя брать вместо одной шестнадцатиричной цифры двоичный эквивалент меньше четырех двоичных знаков!

     Еще один пример.

Пример 5

2916=001010012.

Материал для самостоятельного решения:

Преобразовать следующие шестнадцатиричные числа в двоичные:

8A16, B716, 6C16, FF16, 3516, 5816, 9916, F216, 12316, 35016.

5. Переход от двоичной к шестнадцатиричной системе.

    Этот переход  производится по той же таблице 3, только предварительно необходимо: разбить исходное двоичное число на тетрады начиная с крайнего правого разряда. После этого  тетрады  в исходном числе заменяют соответствующими шестнадцатиричными символами. Например:

Пример 6

111010102 = Х16.

11102 = Е16.

10102 = А16. Поэтому    111010102 = ЕА16.

Материал для самостоятельного решения:

Преобразовать следующие двоичные числа в шестнадцатиричные:

11111012, 1111111000112,  1010101012, 100000111012, 1101011100012, 110012, 1110100012.

6. Переход от шестнадцатиричной системы к десятичной.

     Переход от шестнадцатиричной системы к двоичной осуществляется по тому же алгоритму, что и переход от двоичной системы к десятичной. Разница состоит в том, что вес разряда в шестнадцатиричной системе представляет собой натуральную степень числа 16, так как 16 в данном случае является основанием системы счисления. Сетка младших четырех разрядов шестнадцатиричной системы  представлена в таблице 4.

                                                                                                                 Таблица 4

163 162 161 160
4096 256 16 1

Пример 7

2DB16=X10

2DB16=2·162+D·161+B·160 = 2·256 + 13(D16)·16 + 11(B16)·1= 73110.

Пример 8

2C6E16=2·163+C·162+6·161+E·160=2·4096+12·256+6·16+14·1=1137410.

Материал для самостоятельного решения:

Преобразовать следующие шестнадцатиричные числа в десятичные:

3516, 3816, 4А16, А416, В516, 1В16, 1816, 1F16, 1C16.

7. Переход от десятичной системы счисления к шестнадцатиричной.

Переход в этом случае осуществляется делением исходного числа , на основание системы счисления в которую мы переходим, в целых числах с выписыванием остатков деления, по схеме, которую мы уже использовали в пункте 2 настоящей главы.

Пример 9

4710=X16.

4710 : 16 = 2  остаток 15 - F  разряд весом 1. (160)

210   : 16 = 0  остаток   2 - 2 разряд весом 16. (161)

Поэтому 4710=2F16.

Остатки представленные в шестнадцатиричном виде с учетом веса разряда и дают искомое шестнадцатиричное число.  

 

Материал для самостоятельного решения:

Преобразовать следующие десятичные числа в шестнадцатиричные:

10010, 5110, 4510, 9910, 7610, 3210, 4810, 2110, 7710.

 

 

 

Rambler's Top100 каталог @PAUTINA.NET  
Поиск в Каталоге Refer.Ru: